线性代数示例

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

解题步骤 2

大小为 $2$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $2 \times 2$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

解题步骤 3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{2}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (2 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 - λ) (4 - λ)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 2 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 2 \cdot 4 + 2 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 2 \cdot 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.2.1.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$p (λ) = 8 + 2 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = 8 - 2 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.2.2

从 $- 2 λ$ 中减去 $4 λ$ 。

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 3$

解题步骤 5.2.2

从 $8$ 中减去 $3$ 。

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 5$

解题步骤 5.2.3

将 $- 6 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 5$

解题步骤 6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$λ^{2} - 6 λ + 5 = 0$

解题步骤 7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.1

使用 AC 法来对 $λ^{2} - 6 λ + 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $5$ ，和为 $- 6$ 。

$- 5, - 1$

解题步骤 7.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(λ - 5) (λ - 1) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$λ - 5 = 0$

$λ - 1 = 0$

解题步骤 7.3

将 $λ - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $λ - 5$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 5 = 0$

解题步骤 7.3.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$λ = 5$

解题步骤 7.4

将 $λ - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $λ - 1$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 1 = 0$

解题步骤 7.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$λ = 1$

解题步骤 7.5

最终解为使 $(λ - 5) (λ - 1) = 0$ 成立的所有值。

$λ = 5, 1$

线性代数 示例

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